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<!DOCTYPE html>

<title>Frobeniusnorm</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Frobeniusnorm</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Die Frobeniusnorm oder Schurnorm (benannt nach <a href="Ferdinand_Georg_Frobenius" title="Ferdinand Georg Frobenius">Ferdinand Georg Frobenius</a> bzw. <a href="Issai_Schur" title="Issai Schur">Issai Schur</a>) ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> eine auf der <a href="Euklidische_Norm" title="Euklidische Norm">euklidischen Norm</a> basierende <a href="Matrixnorm" title="Matrixnorm">Matrixnorm</a>. Sie ist definiert als die <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)">Wurzel</a> aus der <a href="Summe" title="Summe">Summe</a> der <a href="Betragsquadrat" title="Betragsquadrat">Betragsquadrate</a> aller Matrixelemente. Für die Frobeniusnorm gibt es noch eine Reihe weiterer Darstellungen, beispielsweise über eine <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a>, über ein <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a>, über eine <a href="Singul%C3%A4rwertzerlegung" title="Singulärwertzerlegung">Singulärwertzerlegung</a> oder über eine <a href="Schur-Zerlegung" title="Schur-Zerlegung">Schur-Zerlegung</a>. Die Frobeniusnorm ist <a href="Submultiplikativit%C3%A4t" title="Submultiplikativität">submultiplikativ</a>, mit der euklidischen Vektornorm <a href="Matrixnorm#Verträglichkeit_mit_einer_Vektornorm" title="Matrixnorm">verträglich</a> und <a href="Invariante_(Mathematik)" title="Invariante (Mathematik)">invariant</a> unter <a href="Unit%C3%A4re_Abbildung" title="Unitäre Abbildung">unitären Transformationen</a>, sie ist aber keine <a href="Operatornorm" title="Operatornorm">Operatornorm</a>. Sie wird beispielsweise in der <a href="Numerische_lineare_Algebra" title="Numerische lineare Algebra">numerischen linearen Algebra</a> aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit zur Abschätzung der <a href="Spektralnorm" title="Spektralnorm">Spektralnorm</a> verwendet und bei der Lösung <a href="Ausgleichungsrechnung" title="Ausgleichungsrechnung">linearer Ausgleichsprobleme</a> mittels der <a href="Moore-Penrose-Inverse" class="mw-redirect" title="Moore-Penrose-Inverse">Moore-Penrose-Inverse</a> eingesetzt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Die Frobeniusnorm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e30c290fa57ceb0593f5dc01a5585ea1b8b54a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}" loading="lazy"> einer <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen</a> oder <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen</a> (m × n)-<a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f9e6be338f58db8d039b14b66796a6a95fdcca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.332ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {K} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1848c435e64864e9ad4efa7e46bd6bc900c35c99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.808ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {K} }" loading="lazy"> aus dem <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a> der reellen oder komplexen Zahlen ist definiert als

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cf60379241cce7f00b8d34ce904c35e60cb1f2f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:24.269ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

also die <a href="Wurzel_(Mathematik)" title="Wurzel (Mathematik)">Wurzel</a> aus der <a href="Summe" title="Summe">Summe</a> der <a href="Betragsfunktion" title="Betragsfunktion">Betragsquadrate</a> aller Matrixelemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebea6cd2813c330c798921a2894b358f7b643917.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.707ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}}" loading="lazy">. Die Frobeniusnorm entspricht damit der <a href="Euklidische_Norm" title="Euklidische Norm">euklidischen Norm</a> eines <a href="Vektor" title="Vektor">Vektors</a> der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m\cdot n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m\cdot n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e825052f4b1acf3df49590dacd8612ce5220c19c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.114ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m\cdot n}" loading="lazy">, in dem alle Einträge der Matrix untereinander notiert sind. Im reellen Fall können die Betragsstriche in der Definition auch weggelassen werden, im komplexen Fall jedoch nicht.

Die Frobeniusnorm ist nach dem deutschen Mathematiker <a href="Ferdinand_Georg_Frobenius" title="Ferdinand Georg Frobenius">Ferdinand Georg Frobenius</a> benannt. Sie heißt nach seinem Schüler <a href="Issai_Schur" title="Issai Schur">Issai Schur</a> auch Schurnorm und wird manchmal auch Hilbert-Schmidt-Norm genannt (nach <a href="David_Hilbert" title="David Hilbert">David Hilbert</a> und <a href="Erhard_Schmidt_(Mathematiker)" title="Erhard Schmidt (Mathematiker)">Erhard Schmidt</a>), wobei letzterer Name meist bei der Untersuchung bestimmter linearer Abbildungen auf (möglicherweise unendlichdimensionalen) <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilberträumen</a> verwendet wird, siehe <a href="Hilbert-Schmidt-Operator" title="Hilbert-Schmidt-Operator">Hilbert-Schmidt-Operator</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Reelle Matrix

Die Frobeniusnorm der reellen (3 × 3)-Matrix

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&2&-3\\0&1&-2\\\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4079a0088ed49b012c0041a06c722f03086a1d5f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.005ex; width:21.409ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&1\\-1&2&-3\\0&1&-2\\\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist gegeben als

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}+1^{2}+|{-}1|^{2}+2^{2}+|{-}3|^{2}+0^{2}+1^{2}+|{-}2|^{2}}}={\sqrt {25}}=5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ccff299d25a4a2c51d2c1c8ceed36d92ce905ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:92.644ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {1^{2}+2^{2}+1^{2}+|{-}1|^{2}+2^{2}+|{-}3|^{2}+0^{2}+1^{2}+|{-}2|^{2}}}={\sqrt {25}}=5}" loading="lazy">.</dd></dl>

Komplexe Matrix

Die Frobeniusnorm der komplexen (2 × 2)-Matrix

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&i\\-2i&3-i\\\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05798c10533af0dc4dabe768719cd7368d168c15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.915ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&i\\-2i&3-i\\\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist gegeben als

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {|1|^{2}+|i|^{2}+|{-}2i|^{2}+|3-i|^{2}}}={\sqrt {1^{2}+1^{2}+2^{2}+(3^{2}+1^{2})}}={\sqrt {16}}=4}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8106b1d7a33c1a5b08a1e6b51d46a537f2dd5d15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:98.798ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {|1|^{2}+|i|^{2}+|{-}2i|^{2}+|3-i|^{2}}}={\sqrt {1^{2}+1^{2}+2^{2}+(3^{2}+1^{2})}}={\sqrt {16}}=4}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weitere_Darstellungen">Weitere Darstellungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung_über_eine_Spur">Darstellung über eine Spur</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times m}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a168c1e41aac8ec720ce65cfd8598db2392845f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times m}}" loading="lazy"> die <a href="Adjungierte_Matrix" title="Adjungierte Matrix">adjungierte Matrix</a> (im reellen Fall <a href="Transponierte_Matrix" title="Transponierte Matrix">transponierte Matrix</a>) von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f9e6be338f58db8d039b14b66796a6a95fdcca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.332ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}" loading="lazy">, dann gilt für die <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a> (die Summe der Diagonaleinträge) des <a href="Matrizenprodukt" class="mw-redirect" title="Matrizenprodukt">Matrizenprodukts</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{H}A}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{H}A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bbae9fd6e66b4d53464017792747ae8a12c202a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.178ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{H}A}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {spur} (A^{H}A)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}{\bar {a}}_{ik}\cdot a_{ik}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}|a_{ik}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da88ed897d355ea1af15ecc5fa5d001dd34e27a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:53.88ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {spur} (A^{H}A)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}{\bar {a}}_{ik}\cdot a_{ik}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{n}|a_{ik}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Somit besitzt die Frobeniusnorm die Darstellung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)}}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(AA^{H}\right)}}=\|A^{H}\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f649c27f1fccb54940c71b879e5661a0687b83e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:50.138ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)}}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(AA^{H}\right)}}=\|A^{H}\|_{F}}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei die mittlere Gleichung daraus folgt, dass unter der Spur Matrizen <a href="Zyklische_Permutation" title="Zyklische Permutation">zyklisch vertauscht</a> werden dürfen. Die Frobeniusnorm ist damit <a href="Matrixnorm#Selbstadjungiertheit" title="Matrixnorm">selbstadjungiert</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung_über_ein_Skalarprodukt">Darstellung über ein Skalarprodukt</h3></div>

Auf dem <a href="Matrizenraum" title="Matrizenraum">Matrizenraum</a> der reellen oder komplexen (m × n)-Matrizen definiert für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B\in \mathbb {K} ^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B\in \mathbb {K} ^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/937dee5a914e6fd58fe7949ffff540bf1f7fba50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.13ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A,B\in \mathbb {K} ^{m\times n}}" loading="lazy">

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {spur} \left(A^{H}B\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/392b4312e0f53f76cbc01d708febc61c8e64dd74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.19ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {spur} \left(A^{H}B\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

ein <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a>, das auch <a href="Frobenius-Skalarprodukt" title="Frobenius-Skalarprodukt">Frobenius-Skalarprodukt</a> genannt wird. Somit ist die Frobeniusnorm die von dem Frobenius-Skalarprodukt <a href="Skalarproduktnorm" title="Skalarproduktnorm">induzierte Norm</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\langle A,A\rangle }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f92e94089f2ac1e0325d73b7d794c331950ef89e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:17.283ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\langle A,A\rangle }}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der Raum der reellen oder komplexen Matrizen ist mit diesem Skalarprodukt ein <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a> und mit der Frobeniusnorm ein <a href="Banachraum" title="Banachraum">Banachraum</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung_über_eine_Singulärwertzerlegung">Darstellung über eine Singulärwertzerlegung</h3></div>

Betrachtet man eine <a href="Singul%C3%A4rwertzerlegung" title="Singulärwertzerlegung">Singulärwertzerlegung</a> der Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f9e6be338f58db8d039b14b66796a6a95fdcca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.332ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=U\Sigma V^{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac40b96b1b245cece31e06e8b0fed35738d29259.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.911ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=U\Sigma V^{H}}" loading="lazy"></dd></dl>

in eine <a href="Unit%C3%A4re_Matrix" title="Unitäre Matrix">unitäre Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{m\times m}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{m\times m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae34724305331db6a526a584778df625e4a9034a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.828ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{m\times m}}" loading="lazy">, eine reelle <a href="Diagonalmatrix" title="Diagonalmatrix">Diagonalmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma \in {\mathbb {R} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma \in {\mathbb {R} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2ddff78474e6fc8dbdb1091c71b46e174f0a42a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.137ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Sigma \in {\mathbb {R} }^{m\times n}}" loading="lazy"> und eine adjungierte unitäre Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9b311fce60042f1063d3c536d98d6fd34aa4b93.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.74ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle V^{H}\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy">, dann gilt

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)=\operatorname {spur} \left(\left(V\Sigma ^{H}U^{H}\right)\left(U\Sigma V^{H}\right)\right)=\operatorname {spur} \left(V\Sigma ^{H}\Sigma V^{H}\right)=\operatorname {spur} \left(\Sigma ^{H}\Sigma \right)=\sum _{i=1}^{r}\sigma _{i}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8872d9264bda3d48ac4aa018759f38008c4010e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:85.765ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)=\operatorname {spur} \left(\left(V\Sigma ^{H}U^{H}\right)\left(U\Sigma V^{H}\right)\right)=\operatorname {spur} \left(V\Sigma ^{H}\Sigma V^{H}\right)=\operatorname {spur} \left(\Sigma ^{H}\Sigma \right)=\sum _{i=1}^{r}\sigma _{i}^{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66daabfb4afa06ffb29f28ee028bfbbf65899ff0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.861ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=\operatorname {rang} (A)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=\operatorname {rang} (A)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6d0e87a7952c5a7e425001cca83cca368da7157.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.229ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=\operatorname {rang} (A)}" loading="lazy"> die positiven Einträge der Diagonalmatrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }" loading="lazy"> sind. Diese Einträge sind die Singulärwerte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und gleich den Quadratwurzeln der <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerte</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{H}A}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{H}A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3bbae9fd6e66b4d53464017792747ae8a12c202a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.178ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{H}A}" loading="lazy">. Somit hat die Frobeniusnorm die Darstellung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{r}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7a6d92ee60cebdde507946d37c69116014b4e74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.127ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{r}^{2}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

womit sie der euklidischen Norm des Vektors der Singulärwerte und damit der <a href="Matrixnorm#Schatten-Normen" title="Matrixnorm">Schatten-2-Norm</a> entspricht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Darstellung_über_eine_Schur-Zerlegung">Darstellung über eine Schur-Zerlegung</h3></div>

Betrachtet man weiterhin eine <a href="Schur-Zerlegung" title="Schur-Zerlegung">Schur-Zerlegung</a> einer quadratischen Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f4ffe5192354872404a4d1e7665a6ca967c1356.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.875ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=URU^{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f076a13fd66287d7cb18d1cacbe4cdbfa07310c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.921ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A=URU^{H}}" loading="lazy"></dd></dl>

in eine unitäre Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/150e5de74f49653f234d89392d35e6ba0d18cc72.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.915ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy">, eine <a href="Dreiecksmatrix" title="Dreiecksmatrix">obere Dreiecksmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cf65dac592d68e4ffbf243525fb547543f62b5b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.896ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle R\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy"> und die zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> adjungierte Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U^{H}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U^{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43b89cff86c71c72179189290acb7dc61b6d55f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.533ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle U^{H}}" loading="lazy">, dann gilt

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)=\operatorname {spur} \left(\left(UR^{H}U^{H}\right)\left(URU^{H}\right)\right)=\operatorname {spur} \left(UR^{H}RU^{H}\right)=\operatorname {spur} \left(R^{H}R\right)=\|R\|_{F}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c12ce792b3f252b03babab55bb15ceb876a802c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:85.546ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)=\operatorname {spur} \left(\left(UR^{H}U^{H}\right)\left(URU^{H}\right)\right)=\operatorname {spur} \left(UR^{H}RU^{H}\right)=\operatorname {spur} \left(R^{H}R\right)=\|R\|_{F}^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Zerlegt man nun die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"> in ihre <a href="Hauptdiagonale" title="Hauptdiagonale">Hauptdiagonale</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Lambda \in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Lambda \in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1b8670516e2dd1a9483a3eb1e5f322ef4c65fc30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.745ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \Lambda \in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy"> bestehend aus den <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwerten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a896f82d292f2489a979c7a2c7a52561df77dd4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.161ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> und eine <a href="Dreiecksmatrix#Strikte_obere_und_untere_Dreiecksmatrix" title="Dreiecksmatrix">strikt obere Dreiecksmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a668fbc40a94f993d494e3eb4c41b30cd0bbc402.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.196ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle N\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy">, dann gilt für die Frobeniusnorm von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}=\|R\|_{F}={\sqrt {\|\Lambda \|_{F}^{2}+\|N\|_{F}^{2}}}={\sqrt {(|\lambda _{1}|^{2}+\ldots +|\lambda _{n}|^{2})+\|N\|_{F}^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4775f551b2e32b2cac63d0728d81c70168c0683c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:67.704ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}=\|R\|_{F}={\sqrt {\|\Lambda \|_{F}^{2}+\|N\|_{F}^{2}}}={\sqrt {(|\lambda _{1}|^{2}+\ldots +|\lambda _{n}|^{2})+\|N\|_{F}^{2}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei die Frobeniusnorm von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy"> genau dann <a href="Null" title="Null">Null</a> ist, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine <a href="Normale_Matrix" title="Normale Matrix">normale Matrix</a> ist. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> nicht normal, dann stellt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|N\|_{F}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|N\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c3fb683b83a0ad8f580731d83ee3c152c904da8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.852ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|N\|_{F}}" loading="lazy"> ein Maß für die Abweichung von der Normalität dar.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normeigenschaften">Normeigenschaften</h3></div>

Da die <a href="Matrizenaddition" title="Matrizenaddition">Summe</a> zweier Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31c06cae31a33c9b8ccf917610f0e8c212b5eaf6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.13ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A,B\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}" loading="lazy"> und die <a href="Skalarmultiplikation" title="Skalarmultiplikation">Multiplikation</a> einer Matrix mit einem <a href="Skalar_(Mathematik)" title="Skalar (Mathematik)">Skalar</a> komponentenweise definiert sind, folgen die Normeigenschaften <a href="Definitheit" title="Definitheit">Definitheit</a>, <a href="Homogene_Funktion" title="Homogene Funktion">absolute Homogenität</a> und <a href="Additivit%C3%A4t#Sub-_und_Superadditivität" class="mw-redirect" title="Additivität">Subadditivität</a> direkt aus den entsprechenden Eigenschaften der euklidischen Norm. Insbesondere folgt die Gültigkeit der Dreiecksungleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A+B\|_{F}\leq \|A\|_{F}+\|B\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c99c9e943488a0946815ef29f2ca9c04c09ef8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:27.158ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|A+B\|_{F}\leq \|A\|_{F}+\|B\|_{F}}" loading="lazy"></dd></dl>

aus der <a href="Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung" title="Cauchy-Schwarzsche Ungleichung">Cauchy-Schwarz-Ungleichung</a> über

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A+B\|_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}+2\operatorname {Re} \langle A,B\rangle +\|B\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{F}^{2}+2\|A\|_{F}\|B\|_{F}+\|B\|_{F}^{2}=\left(\|A\|_{F}+\!\|B\|_{F}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0671ada2fe74c3178c57e7150589aefbb2434d69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:92.248ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \|A+B\|_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}+2\operatorname {Re} \langle A,B\rangle +\|B\|_{F}^{2}\leq \|A\|_{F}^{2}+2\|A\|_{F}\|B\|_{F}+\|B\|_{F}^{2}=\left(\|A\|_{F}+\!\|B\|_{F}\right)^{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" loading="lazy"> obiges Skalarprodukt auf Matrizen ist und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {Re} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {Re} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95843424d33425ded8dd8eb6bed645d75ebd885c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {Re} }" loading="lazy"> den Realteil der komplexen Zahl angibt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Submultiplikativität">Submultiplikativität</h3></div>

Die Frobeniusnorm ist <a href="Submultiplikativit%C3%A4t" title="Submultiplikativität">submultiplikativ</a>, das heißt für Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f9e6be338f58db8d039b14b66796a6a95fdcca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.332ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B\in {\mathbb {K} }^{n\times l}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B\in {\mathbb {K} }^{n\times l}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11e77a3dd671458d9e05b32f2099e4cfaf9bf2e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.4ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle B\in {\mathbb {K} }^{n\times l}}" loading="lazy"> gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\,B\|_{F}\leq \|A\|_{F}\,\|B\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13eecaedfed155ee850d3390661eb957ea02816b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.251ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\,B\|_{F}\leq \|A\|_{F}\,\|B\|_{F}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wie ebenfalls mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung durch

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\,B\|_{F}^{2}&=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right|^{2}\!=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}\left|\langle a_{i\ast }^{H},b_{\ast k}\rangle \right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}\|a_{i\ast }^{H}\|_{2}^{2}\,\|b_{\ast k}\|_{2}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{m}\|a_{i\ast }^{H}\|_{2}^{2}\,\sum _{k=1}^{l}\|b_{\ast k}\|_{2}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\,\|B\|_{F}^{2}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c8b9e5a8dd9199f2db9df0be8466a4a61f23c930.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.338ex; width:75.351ex; height:15.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\,B\|_{F}^{2}&=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right|^{2}\!=\sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}\left|\langle a_{i\ast }^{H},b_{\ast k}\rangle \right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\sum _{k=1}^{l}\|a_{i\ast }^{H}\|_{2}^{2}\,\|b_{\ast k}\|_{2}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{m}\|a_{i\ast }^{H}\|_{2}^{2}\,\sum _{k=1}^{l}\|b_{\ast k}\|_{2}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\,\|B\|_{F}^{2}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

gezeigt werden kann. Hierbei ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i\ast }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i\ast }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54b0e11d0ea20fc66a6fad9eeeb3d42cb8f240c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.851ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i\ast }}" loading="lazy"> die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-te Zeile von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b_{\ast k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b_{\ast k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f12cf69d76d0f591ba36c4c47f955eac3c272fb7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.908ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle b_{\ast k}}" loading="lazy"> die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy">-te Spalte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9a50080b735975d8001c9552ac2134b49ad534c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.137ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }" loading="lazy"> das <a href="Standardskalarprodukt" title="Standardskalarprodukt">Standardskalarprodukt</a> auf Vektoren und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3a8e44a2eb980f856968a6357e3d0a7c22c905f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.058ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}" loading="lazy"> die euklidische Vektornorm.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Verträglichkeit_mit_der_euklidischen_Norm">Verträglichkeit mit der euklidischen Norm</h3></div>

Die Frobeniusnorm ist mit der euklidischen Norm <a href="Matrixnorm#Verträglichkeit_mit_einer_Vektornorm" title="Matrixnorm">verträglich</a>, das heißt für eine Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f9e6be338f58db8d039b14b66796a6a95fdcca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.332ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}" loading="lazy"> und einen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9b5ca89d8a1c58b9ce3f1b69c67d486fb4b7686.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.197ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{n}}" loading="lazy"> gilt die Ungleichung

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\,x\|_{2}\leq \|A\|_{F}\,\|x\|_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/082f17e13ab86238ee99fb95b0f88a4cb1f46b7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.565ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\,x\|_{2}\leq \|A\|_{F}\,\|x\|_{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

was wiederum über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung aus

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\,x\|_{2}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right|^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\langle a_{i\ast }^{H},x\rangle \right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\|a_{i\ast }^{H}\|_{2}^{2}\,\|x\|_{2}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\,\|x\|_{2}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4820daa8eb18047c747a7864c11efc80cf48f593.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:72.961ex; height:8.343ex;" alt="{\displaystyle \|A\,x\|_{2}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right|^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\langle a_{i\ast }^{H},x\rangle \right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\|a_{i\ast }^{H}\|_{2}^{2}\,\|x\|_{2}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\,\|x\|_{2}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

folgt und was lediglich den Spezialfall der Submultiplikativität für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fc60b21200ebf2b338c4fa71b103cb697b02bd3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.954ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l=1}" loading="lazy"> darstellt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unitäre_Invarianz">Unitäre Invarianz</h3></div>

Die Frobeniusnorm ist <a href="Invariante_(Mathematik)" title="Invariante (Mathematik)">invariant</a> unter <a href="Unit%C3%A4re_Abbildung" title="Unitäre Abbildung">unitären Transformationen</a> (im reellen Fall <a href="Orthogonale_Matrix" title="Orthogonale Matrix">orthogonalen Transformationen</a>), das heißt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|UAV\|_{F}=\|A\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de0aba13d9f8fa4166801dbb0dac5138349cdf7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.731ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|UAV\|_{F}=\|A\|_{F}}" loading="lazy"></dd></dl>

für alle <a href="Unit%C3%A4re_Matrix" title="Unitäre Matrix">unitären Matrizen</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{m\times m}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{m\times m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ae34724305331db6a526a584778df625e4a9034a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.828ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle U\in {\mathbb {K} }^{m\times m}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c96fceded1ee1dd44de7bdf556771eb828134e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.919ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy">. Dies folgt direkt über die Spurdarstellung aus

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|UAV\|_{F}^{2}=\operatorname {spur} \left(\left(V^{H}A^{H}U^{H}\right)\left(UAV\right)\right)=\operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)=\|A\|_{F}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87419dedbca8568995822309b940b4a13092de63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:62.406ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \|UAV\|_{F}^{2}=\operatorname {spur} \left(\left(V^{H}A^{H}U^{H}\right)\left(UAV\right)\right)=\operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)=\|A\|_{F}^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Durch diese Invarianz ändert sich auch die <a href="Kondition_(Mathematik)" title="Kondition (Mathematik)">Kondition</a> einer Matrix bezüglich der Frobeniusnorm nach einer Multiplikation mit einer unitären Matrix von links oder rechts nicht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nichtdarstellbarkeit_als_Operatornorm">Nichtdarstellbarkeit als Operatornorm</h3></div>

Die Frobeniusnorm ist keine <a href="Operatornorm" title="Operatornorm">Operatornorm</a> und damit keine <a href="Nat%C3%BCrliche_Matrixnorm" title="Natürliche Matrixnorm">natürliche Matrixnorm</a>, das heißt, es gibt keine Vektornorm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\cdot \|}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\cdot \|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/113f0d8fe6108fc1c5e9802f7c3f634f5480b3d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.004ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\cdot \|}" loading="lazy">, sodass

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\|A\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22e519b9ec80edb7668895635d70fff0f31e99a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:19.576ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\|A\|_{F}}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt, da jede Operatornorm für die <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> den Wert <a href="Eins" title="Eins">Eins</a> besitzen muss, jedoch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|I\|_{F}={\sqrt {\min\{m,n\}}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|I\|_{F}={\sqrt {\min\{m,n\}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6734bcd353febea495226a76d24edc9c30a4e77.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.051ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|I\|_{F}={\sqrt {\min\{m,n\}}}}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m,n\geq 2}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m,n\geq 2}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a759c98274752b1613054ccba83864347f8d2d1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.73ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle m,n\geq 2}" loading="lazy"> einen Wert größer als Eins ergibt. Selbst eine entsprechend skalierte Version der Frobeniusnorm ist keine Operatornorm, da diese Norm dann nicht submultiplikativ ist, was eine weitere Eigenschaft jeder Operatornorm ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle">Spezialfälle</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normale_Matrizen">Normale Matrizen</h3></div>

Ist die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f4ffe5192354872404a4d1e7665a6ca967c1356.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.875ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy"> normal mit Eigenwerten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a896f82d292f2489a979c7a2c7a52561df77dd4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.161ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}" loading="lazy">, dann gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {|\lambda _{1}|^{2}+\ldots +|\lambda _{n}|^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d4c2917350afa96ddc4c74c4525b2ff62246afd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:29.036ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {|\lambda _{1}|^{2}+\ldots +|\lambda _{n}|^{2}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Frobeniusnorm entspricht damit der euklidischen Norm des Vektors der Eigenwerte der Matrix.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Unitäre_Matrizen">Unitäre Matrizen</h3></div>

Ist die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f4ffe5192354872404a4d1e7665a6ca967c1356.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.875ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}}" loading="lazy"> unitär (im reellen Fall orthogonal), dann gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

<mrow>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)}}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(I\right)}}={\sqrt {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/641c3cb10b6e45f9071ca54ad4f79cd0ccd8eef3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:41.919ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(A^{H}A\right)}}={\sqrt {\operatorname {spur} \left(I\right)}}={\sqrt {n}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Frobeniusnorm hängt in diesem Fall also nur von der Größe der Matrix ab.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Rang-Eins-Matrizen">Rang-Eins-Matrizen</h3></div>

Besitzt die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6f9e6be338f58db8d039b14b66796a6a95fdcca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.332ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle A\in {\mathbb {K} }^{m\times n}}" loading="lazy"> den <a href="Rang_(Lineare_Algebra)" title="Rang (Lineare Algebra)">Rang</a> null oder eins, das heißt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A=xy^{T}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=xy^{T}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4dec625810aba3638c781d9162533926c3fb1bed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.721ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A=xy^{T}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{m}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/659e8f255cdf51500873c90a5761449dbacd06f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.654ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x\in {\mathbb {K} }^{m}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y\in {\mathbb {K} }^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y\in {\mathbb {K} }^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d22b34fb3d4a1285377df6db5082f27e15b9fe90.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.023ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle y\in {\mathbb {K} }^{n}}" loading="lazy">, dann gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{F}=\|x\|_{2}\cdot \|y\|_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3310e74e3ce7f0fdf36b5ceac1b158a462ea02e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.552ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{F}=\|x\|_{2}\cdot \|y\|_{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3a8e44a2eb980f856968a6357e3d0a7c22c905f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.058ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|\cdot \|_{2}}" loading="lazy"> wieder die euklidische Vektornorm ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Abschätzung_der_Spektralnorm">Abschätzung der Spektralnorm</h3></div>

Die Frobeniusnorm wird in der <a href="Numerische_lineare_Algebra" title="Numerische lineare Algebra">numerischen linearen Algebra</a> aufgrund ihrer einfacheren Berechenbarkeit häufig zur Abschätzung der <a href="Spektralnorm" title="Spektralnorm">Spektralnorm</a> eingesetzt, denn es gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {\min\{m,n\}}}\cdot \|A\|_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5e0a3db9dd8809f88c6548d692d03d80f232dd82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:36.645ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {\min\{m,n\}}}\cdot \|A\|_{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Gleichheit gilt dabei genau dann, wenn der Rang der Matrix null oder eins ist. Diese beiden Abschätzungen folgen aus der Darstellung der Frobeniusnorm über die Singulärwertzerlegung aus

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|A\|_{2}^{2}=\sigma _{\max }^{2}\leq \sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{r}^{2}=\|A\|_{F}^{2}=\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{r}^{2}\leq r\cdot \sigma _{\max }^{2}=r\cdot \|A\|_{2}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30dc3f095d2823ba58d57e9213d8fe59278e55c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:75.406ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|A\|_{2}^{2}=\sigma _{\max }^{2}\leq \sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{r}^{2}=\|A\|_{F}^{2}=\sigma _{1}^{2}+\ldots +\sigma _{r}^{2}\leq r\cdot \sigma _{\max }^{2}=r\cdot \|A\|_{2}^{2}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66daabfb4afa06ffb29f28ee028bfbbf65899ff0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.861ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r\leq \min\{m,n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r\leq \min\{m,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d7bf22d5db4464509165320829478ba083119723.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.816ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r\leq \min\{m,n\}}" loading="lazy"> die Singulärwerte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> sind und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{\max }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{\max }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64db84d24c57230a6adf7bb152d4d78760816469.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:4.618ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{\max }}" loading="lazy"> der maximale Singulärwert von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> ist, der gerade der Spektralnorm entspricht. Die Summe der Quadrate der Singulärwerte wird dabei durch das Quadrat des größten Singulärwerts nach unten und durch das r-fache des Quadrats des größten Singulärwerts nach oben abgeschätzt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lineare_Ausgleichsprobleme">Lineare Ausgleichsprobleme</h3></div>

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> eine <a href="Singul%C3%A4re_Matrix" class="mw-redirect" title="Singuläre Matrix">singuläre</a> oder nichtquadratische Matrix, so stellt sich oft die Frage nach ihrer näherungsweisen <a href="Inverse_Matrix" title="Inverse Matrix">Inversen</a>, also einer Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Z}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.68ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle Z}" loading="lazy">, sodass

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cdot Z\approx I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/106e06024bf71140812d52dd8767bfa93bd2abc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.373ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\cdot Z\approx I}" loading="lazy">.</dd></dl>

mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> als der Einheitsmatrix gilt. Die <a href="Pseudoinverse" title="Pseudoinverse">Moore-Penrose-Inverse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A^{+}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b380a5ff4e2d7d22a0dc1aea46e7ecba61f95fe6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.254ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A^{+}}" loading="lazy"> ist eine wichtige solche Pseudoinverse und definiert als diejenige Matrix, für die die Abweichung in der Frobeniusnorm

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|I-A\cdot Z\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17bc0fddcd77300e66ebaa3a0e1f2616bf2a0ec7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.903ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|I-A\cdot Z\|_{F}}" loading="lazy"></dd></dl>

minimal wird. Sie hat mittels einer Singulärwertzerlegung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"> die Darstellung

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99015e0d9fb90a06937f99cdde6c43a72bd7128a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:14.861ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle A^{+}=V\Sigma ^{+}U^{H}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma ^{+}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma ^{+}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c78b913a3f87bba9d7bbba8696a81f05633dee94.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.189ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Sigma ^{+}}" loading="lazy"> aus der Diagonalmatrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Sigma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e1f558f53cda207614abdf90162266c70bc5c1e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Sigma }" loading="lazy"> dadurch entsteht, dass die von Null verschiedenen Elemente invertiert werden. Über eine Pseudoinverse lassen sich beispielsweise Matrixgleichungen

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\cdot X=B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c36bfd31b0468ba90615274f448f0b6f32a92d29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.265ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\cdot X=B}" loading="lazy"></dd></dl>

durch

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X\approx A^{+}B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f280f05d8ce8e181e0391f64f3928982a1f1ac5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.096ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X\approx A^{+}B}" loading="lazy"></dd></dl>

näherungsweise lösen, wobei die Näherungslösung über die Moore-Penrose-Inverse dann den Fehler

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|B-A\cdot X\|_{F}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8bd5d8ec8330a1dcf3771fe565f0610ffcd02a3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.795ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|B-A\cdot X\|_{F}}" loading="lazy"></dd></dl>

in der Frobeniusnorm im Sinne der <a href="Methode_der_kleinsten_Quadrate" title="Methode der kleinsten Quadrate">Methode der kleinsten Quadrate</a> minimiert.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Gene_Golub" class="mw-redirect" title="Gene Golub">Gene Golub</a>, Charles van Loan: <cite style="font-style:italic">Matrix Computations</cite>. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 978-0-8018-5414-9.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Frobeniusnorm&rft.au=Gene+Golub%2C+Charles+van+Loan&rft.btitle=Matrix+Computations&rft.date=1996&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=9780801854149&rft.pub=Johns+Hopkins+University+Press" style="display:none"> </li>

<li>Roger Horn, Charles R. Johnson: <cite style="font-style:italic">Matrix Analysis</cite>. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Frobeniusnorm&rft.au=Roger+Horn%2C+Charles+R.+Johnson&rft.btitle=Matrix+Analysis&rft.date=1990&rft.genre=book&rft.isbn=9780521386326&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </li>

<li>Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: <cite style="font-style:italic">Numerische Mathematik</cite>. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Frobeniusnorm&rft.au=Hans+Rudolf+Schwarz%2C+Norbert+K%C3%B6ckler&rft.btitle=Numerische+Mathematik&rft.date=2011&rft.edition=8.&rft.genre=book&rft.isbn=9783834815514&rft.pub=Vieweg+%26+Teubner" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/FrobeniusNorm.html">Frobenius Norm.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li>

<li>Cam McLeman, Logan Hanks: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/FrobeniusMatrixNorm">Frobenius matrix norm.</a> In: <a href="PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>. (englisch)</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2024-11-22" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Frobeniusnorm&oldid=250591045">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>